Mathématiquement, un ensemble est une collection ou une liste d'objets. Les ensembles ne sont pas simplement composés de nombres, mais peuvent contenir tout ce qui comprend:
- la nourriture dans votre réfrigérateur;
- les planètes du système solaire;
Même si les ensembles peuvent contenir quoi que ce soit, ils font souvent référence à des nombres correspondant à un motif ou liés entre eux, tels que:
- ensemble de nombres pairs positifs inférieurs à 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- ensemble de facteurs pour le nombre 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Définir la notation
Les objets d'un ensemble sont appelés éléments et les suivants notation ou les conventions sont utilisées avec les ensembles:
- Les lettres majuscules simples sont utilisées pour identifier les ensembles - tels que J, E ou F ;
- Les lettres minuscules ou les chiffres sont utilisés pour les éléments d'un ensemble;
- Les accolades {} désignent une liste d’éléments d’un ensemble;
- Les virgules sont utilisées pour séparer les éléments de l'ensemble.
Ainsi, des exemples de notation d'ensemble seraient:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Ordre des éléments et répétition
Les éléments d'un ensemble ne doivent pas nécessairement être dans un ordre particulier, donc l'ensemble J ci-dessus pourrait également s'écrire:
J = {Saturne, Jupiter, Neptune, Uranus}
ou
J = {neptune, jupiter, uranus, saturn}
La répétition d'éléments ne change pas non plus l'ensemble, donc:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
et
J = {Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, Jupiter, Saturne}
sont le même ensemble car les deux ne contiennent que quatre éléments différents: jupiter, saturn, uranus et neptune.
Ensembles et Ellipses
S'il y a un infini - ou illimité - nombre d'éléments dans un ensemble, des points de suspension (…) indiquent que le motif de l'ensemble continue indéfiniment dans cette direction.
Par exemple, l'ensemble des nombres naturels commence à zéro, mais n'a pas de fin, il peut donc être écrit sous la forme:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Un autre ensemble spécial de nombres qui n’a pas de fin est l’ensemble des entiers. Comme les entiers peuvent être positifs ou négatifs, l'ensemble utilise des ellipses aux deux extrémités pour indiquer qu'il reste indéfiniment dans les deux sens:
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Une autre utilisation des ellipses est de remplir le milieu d'un grand jeu tel que:
{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}
Les points de suspension indiquent que le motif - uniquement des chiffres pairs - continue dans la section non écrite de l'ensemble.
Ensembles Spéciaux
Les ensembles spéciaux fréquemment utilisés sont identifiés à l'aide de lettres ou de symboles spécifiques. Ceux-ci inclus:
- Ø ou{ } - l'ensemble vide - un ensemble ne contenant aucun élément ;
- U - l'ensemble universel - un ensemble contenant tous les éléments relatifs à la définition d'un ensemble particulier ;
- Z - l'ensemble de tous les entiers:Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …};
- N - nombres naturels (entiers positifs):N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
Alignement vs méthodes descriptives
Écrire ou lister les éléments d’un ensemble, tels que l’ensemble des éléments internes ou terrestre planètes dans notre système solaire, est appelé notation de la liste ou la méthode de la liste .
T = {mercure, vénus, terre, mars}
Une autre option pour identifier les éléments d’un ensemble consiste à utiliser méthode descriptive, qui utilise une courte déclaration ou un nom pour décrire l'ensemble, tel que:
T = {les planètes terrestres}
Notation Set-Builder
Une alternative à la liste et aux méthodes descriptives consiste à utiliser notation de constructeur d'ensembles , qui est une méthode abrégée décrivant la règle suivie par les éléments de l’ensemble (la règle qui les rend membres d’un ensemble particulier) .
La notation Set-Builder pour l'ensemble des nombres naturels supérieurs à zéro est la suivante:
x ∈ N, X > 0
ou
{x: x N, X > 0}
Dans la notation set-builder, la lettre "x" est une variable ou un espace réservé qui peut être remplacé par une autre lettre.
Caractères raccourcis
Les caractères abrégés utilisés avec la notation set-builder incluent:
- La barre verticale ou deux points (| ou: caractères) - les séparateurs sont-ils lus comme tel que;
- Epsilon minuscule (∈ caractère) - est lu comme est un élément de;
- le ∉ caractère - est lu comme pas un élément de.
Alors, x ∈ N, X > 0 serait lu comme:
"L'ensemble de tous X , tel que X est un élément de l'ensemble des nombres naturels et x est supérieur à 0. "
Ensembles et diagrammes de Venn
Un diagramme de Venn - parfois appelé un définir le diagramme - est utilisé pour montrer les relations entre les éléments de différents ensembles.
Dans l'image ci-dessus, la section qui se chevauche du diagramme de Venn montre l'intersection des ensembles E et F (éléments communs aux deux ensembles).
Ci-dessous se trouve la notation set-builder pour l'opération ("U" à l'envers signifie l'intersection):
E ∩ F = x
La bordure rectangulaire et la lettre U dans le coin du diagramme de Venn représentent l'ensemble universel de tous les éléments pris en compte pour cette opération:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}
